Question

15．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC²=AB•AD；∠ADC=90°，E为AB的中点，
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由．

Answer 1

分析 （1）证明∠DAC=∠CAB，∠ADC=∠ACB=90，即可解决问题；
（2）根据直角三角形的性质，可得CE与AE的关系，根据等腰三角形的性质，可得∠EAC=∠ECA，根据角平分线的定义，可得∠CAD=∠CAB，根据平行线的判定，可得答案．

解答 证明：（1）∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB．

（2）CE∥AD；
∵E是AB的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=AE，
∴∠EAC=∠ECA．
∵AC平分∠DAB，
∴∠CAD=∠CAB，
∴CAD=∠ECA，
∴CE∥AD．

点评 该题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握直角三角形的性质、相似三角形的判定及其性质是解题的关键．