Question

如图，矩形OABC的边OA在x轴上，OC边在y轴上，OA=8，OC=6，过点C与对角线OB垂直的直线l，交x轴于P，
（1）求直线l的解析式及P点的坐标；
（2）若点P沿x轴的正方向以1单位/s的速度移动，直线l也随之移动，且l∥OB，设直线分矩形部分面积为y，求y与P点移动时间x的函数关系式；
（3）若点P在（2）的情况下移动的同时，直线l上有一点M，从P点出发以1单位/s的速度沿直线l向上移动，求以M为圆心，半径为1的圆与矩形四条边所在直线相切的时间x的值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：探究型

分析：（1）首先求得OB的解析式，根据直线l与OB垂直，即可求得直线l的解析式的一次项系数，再根据待定系数法即可求得直线l的解析式，求得P的坐标；
（2）分当P在A或A的左边时，即0≤x≤

7

2

或当

7

2

＜x≤8以及x＞8三种情况进行讨论，分别利用直角梯形的面积公式，以及直角三角形的面积公式即可求得函数解析式；
（3）首先利用时间x表示出M的坐标，然后根据圆与直线相交的条件：圆心到直线的距离等于圆的半径，分情况进行讨论，即可求得x的值．

解答：解：（1）B的坐标是（8，6），
设直线L的解析式是y=kx，则6=8k，解得：k=

3

4

，
则直线OB的解析式是y=

3

4

x，
则直线l的一次项系数是：-

4

3

，设直线l的解析式是y=-

4

3

x+b，
把C的坐标（0，6）代入解析式得：6=b，
则l的解析式是：y=-

4

3

x+6，设y=0，解得：x=

9

2

，则P的坐标是（

9

2

，0）；
（2）当P在A或A的左边时，即0≤x≤

7

2

时：
点P沿x轴的正方向以1单位/s的速度移动，x秒后到F点，则FA=8-

9

2

-x=

7-2x

2

，设直线l与BC的交点是E，则BN=8-x，四边形ABEP是直角梯形，
则y=

1

2

（AF+BE）•AB=

1

2

（

7-2x

2

+8-x）×6=-6x+

69

2

；

当

7

2

＜x≤8时，设直线l与AB交于点M，与BC交于点N．交x轴与Q．
则AQ=x-

7

2

，
△OPC∽△AQM，
则

OC

AM

=

OP

AQ

，则AM=

2(2x-7)

3

，BM=6-

2(2x-7)

3

=

32-4x

3

，
BN=x，
则y=

1

2

BN•BM=

1

2

x×

32-4x

3

=

16-2x

3

．

当x＞8是，直线l与矩形不相交．

（3）在直角△OPC中，PC=

OC2+OP2

=

15

2

，
设M点运动x秒，则M的横坐标是：

9

2

+x，
M的纵坐标是：

4

5

x，则M的坐标是：（

9

2

+x，

4

5

x），
当圆与OA相切时：

4

5

x=1，解得：x=

5

4

；
当圆与OC相切时，

9

2

+x=1，解得：x=-

7

2

，（舍去）；
当圆与AB相切时：8-（

9

2

+x）=1或（

9

2

+x）-8=1，解得：x=

5

2

或

9

2

；
当圆与BC相切时，6-

4

5

x=1或

4

5

x-6=1，解得：x=

25

4

或

35

4

．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，直线与圆的位置关系，正确求得M的坐标是关键．