Question

20．请仔细阅读下面材料，然后解决问题：
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”．例如：$\frac{x-1}{x+1}$，$\frac{{x}^{2}}{x-1}$；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：$\frac{1}{x+1}$，$\frac{2x+1}{{x}^{2}-1}$．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：$\frac{12}{5}$=$\frac{10+3}{5}$=2+$\frac{3}{5}$=2$\frac{3}{5}$，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：$\frac{x+1}{x-1}$=$\frac{x-1+2}{x-1}$=1+$\frac{2}{x+1}$．
（1）将分式$\frac{2x+1}{x-1}$化为带分式；
（2）当x取哪些整数值时，分式$\frac{2x+1}{x-1}$的值也是整数？
（3）当x的值变化时，分式$\frac{{2x}^{2}+7}{{x}^{2}+2}$的最大值为$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 （1）仿照阅读材料中的方法加你个原式变形即可；
（2）原式变形后，根据结果为整数确定出整数x的值即可；
（3）原式变形后，确定出分式的最大值即可．

解答 解：（1）原式=$\frac{2（x-1）+3}{x-1}$=2+$\frac{3}{x-1}$；
（2）由（1）得：$\frac{2x+1}{x-1}$=2+$\frac{3}{x-1}$，
要使$\frac{2x+1}{x-1}$为整数，则$\frac{3}{x-1}$必为整数，
∴x-1为3的因数，
∴x-1=±1或±3，
解得：x=0，2，-2，4；
（2）原式=$\frac{2（{x}^{2}+2）+3}{{x}^{2}+2}$=2+$\frac{3}{{x}^{2}+2}$，
当x²=0时，原式取得最大值$\frac{7}{2}$．
故答案为：$\frac{7}{2}$

点评 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．