Question

在△ABC中，∠ACB=2∠B，
（1）如图①，当∠C=90°，AD为∠ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．请证明AB=AC+CD；
（2）①如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；
②如图③，当∠C≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．

Answer 1

分析：（1）首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE=45°，求出BE=DE=CD，进而得出答案；
（2）①首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE，求出BE=DE=CD，进而得出答案；
②首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠EDC，求出BE=DE=CD，进而得出答案．

解答：（1）证明：∵AD为∠ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
在△AED和△ACD中，

AE=AC ∠EAD=∠CAD AD=AD

，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴ED=CD，∠C=∠AED=90°，
∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，
∴∠B=45°，
∴∠BDE=45°，
∴BE=ED=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD；

（2）①AB=AC+CD
理由：在AB上截取AE=AC，连接DE，
∵AD为∠ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
在△AED和△ACD中，

AE=AC ∠EAD=∠CAD AD=AD

，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴ED=CD，∠C=∠AED，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∵∠B+∠BDE=∠AED，
∴∠B=∠BDE，
∴BE=ED=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD；

②AC+AB=CD．
理由：在射线BA上截取AE=AC，连接DE，
∵AD为∠ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
在△AED和△ACD中，

AE=AC ∠EAD=∠CAD AD=AD

，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴ED=CD，∠ACD=∠AED，
∵∠ACB=2∠B，
∴设∠B=x，则∠ACB=2x，
∴∠EAC=3x，
∴∠EAD=∠CAD=1.5x，
∵∠ADC+∠CAD=∠ACB=2x，
∴∠ADC=0.5x，∴∠EDC=x，
∴∠B=∠EDC，
∴BE=ED=CD，
∴AB+AE=BE=AC+AB=CD．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质等知识，利用已知得出△AED≌△ACD是解题关键．