Question

如图，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，A（-3，0），过点C的直线y=-2x+4与x轴交于点D，二次函数y=-x²+bx+c的图象经过B、C两点．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）求二次函数解析式；
（3）若点P是CD的中点，求证：AP⊥CD；
（4）在二次函数图象上是否存在点M，使以A、P、C、M为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解：y=-2x+4，当x=0时，y=4，∴C（0，4）
在矩形OABC中，BC=OA=3，AB=OC=4．
∴B（-3，4）．

（2）解：∵二次函数y=-x²+bx+c的图象经过B、C两点，
∴
∴
∴y=-x²-x+4．

（3）证明：连接AC，在Rt△AOC中，AC===5
∵y=-2x+4，当y=0时，x=2．
∴D（2，0）
∵AD=OA+OD=3+2=5．
∴AD=AC．
∵P是CD的中点，
∴AP⊥CD．

（4）解：存在，理由：假设四边形APCM为矩形，过点M作MN⊥x轴于N点，
在Rt△COD中，CD===2．∴CP=AM=CD=
∵MA∥CD，∴∠MAN=∠CDO．
∵∠MNA=∠COD=90°，
∴△MNA∽△COD．
∴
∴MN=4×=2．
NA=2×=1
∵ON=OA+AN=4
∴M（-4，2）
把x=-4代入y=-x²-x+4中，
y=2
∴点M在抛物线上
∴存在这样的点M，使四边形APCM为矩形．
分析：（1）令直线y=-2x+4的x=0即可得出C点坐标，再根据A、C两点坐标便可求出B点坐标；
（2）将B、C两点的坐标得到代入二次函数y=-x²+bx+c即可求得二次函数解析式；
（3）连接AC，先证△ACD为等腰三角形，即可证明AP⊥CD
（4）存在，先证明△MNA与△COD相似，即可求得M点坐标．
点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和等腰三角形的证明及三角形的相似等知识点，是各地中考的热点和难点，同学们要加强训练，属于中档题．