Question

某住宅小区，为美化环境，提高居民区生活质量，要建一个八边形居民广场（平面图如图所示），其中，正方形MNPQ与四个相同矩形（图中阴影部分）的面积的和为800平方米．
（1）设矩形的边长AB=x（米），AM=y（米），用含x的代数式表示y；
（2）现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元，在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元，在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元．
①设该工程的总造价为S（元），求S关于x的函数关系式；
②若该工程的银行贷款为235000元，问仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案；若不能请说明理由；
③若该工程在银行贷款的基础上，又增加奖金73000元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据四个矩形都相同，因此四个直角三角形的直角边都相等，那么可根据4个矩形的面积+中间的正方形的面积=800来列出关于x、y的函数关系式；
（2）①（1）中已得出了矩形的长，那么根据总造价S=4个矩形区域的造价+正方形区域的造价+4个直角三角形区域的造价，来列出关于S、x的函数关系式；
②可将①得出的二次函数式转换成顶点式的表达式，然后看看二次函数的最小值是否超过235000即可；
③根据②即可判定出增加奖金后能否完成该工程，如果能只需将S=235000+73000代入函数式中求出x的值即可得出所求的方案．

解答：解：（1）y=

800-x2

4x

（0＜x＜20

2

）；

（2）①S=2100x²+105×4xy+40×4×

1

2

y²=2000x²+

3200000

x2

+76000（0＜x＜20）；
②∵S=2000（x²+

1600

x2

-80）+76000+2000×80=2000（x-

40

x

）²+236000＞235000
∴仅靠银行贷款不能完成该工程的建设任务；
③由S=235000+73000=308000
得：2000x²+

320000

x2

+76000=308000
即x²-116+

1600

x2

=0
设x²=t，得t²-116t+1600=0
解得：t₁=100，t₂=16
当t=100时，x²=100，x=10（负数不合题意，舍去）此时y=17.5；
当t=16时，x²=16，x=4（负数不合题意，舍去），此时y=49．
因此设计方案应为：
1．正方形区域的边长为10米；
四个相同的矩形区域的长和宽分别为17.5米和10米；
四个相同的三角形区域的直角边长均为17.5米．
2．正方形区域的边长为4米；
四个相同的矩形区域的长和宽分别为49米和4米；
四个相同的三角形区域的直角边长均为49米．

点评：本题主要考查了二次函数的应用，本题中二次函数式较复杂，但是只要抓住其特点即可正确进行解答．