Question

17．已知P（a，y₁），Q（1，y₂）是抛物线y=kx²+（2k+1）x+2（k是不等于0的常数）上的两点
（1）求证：无论k取任何实数时，关于x的方程kx²+（2k+1）x+2=0总有实数根；
（2）当k=1时，
①求抛物线y=kx²+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点坐标，并画出此条抛物线的草图；
②若y₁＞y₂，请结合函数图象确定实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）计算△的值，根据△≥0可得结论；
（2）①先将k=1代入得：y=x²+3x+2，令y=0可以计算抛物线与x轴两个交点坐标，并画出抛物线；
②根据图象找到Q的对称点A的坐标，可得a的取值．

解答 解：（1）kx²+（2k+1）x+2=0，
△=（2k+1）²-4k×2=4k²+4k+1-8k=4k²-4k+1=（2k-1）²≥0，
∴无论k取任何实数时，关于x的方程kx²+（2k+1）x+2=0总有实数根；
（2）①当k=1时，y=kx²+（2k+1）x+2=x²+3x+2，
当y=0时，x²+3x+2=0，
（x+1）（x+2）=0，
x₁=-1，x₂=-2，
∴抛物线y=kx²+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点坐标分别为（-2，0）、（-1，0），
抛物线如图所示，
②y=x²+3x+2=（x+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∴抛物线的对称轴是：x=-$\frac{3}{2}$
由对称性得：点Q关于抛物线对称的对称点A（-4，y₂）
∵P（a，y₁），Q（1，y₂）
∴若y₁＞y₂，实数a的取值范围是a＜-4或a＞1．

点评 本题考查了一元二次方程根的判别式、二次函数与x轴的交点、顶点式、对称性、画二次函数的图象（五点法），本题虽然用到的知识点较多，但相对比较基础，难度不大，最后一问可以利用数形结合的思想解决问题．