Question

如图，已知抛物线和直线y₂=x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值k分别为y₁、y₂，若y₁≠y₂，取y₁、y₂中的较大值记为M；若y₁=y₂，记M=y₁=y₂．下列判断：
①当x＜-1时，M=y₁；②当x＜0时，x值越大，M值越大；
③使得M＜-1的x值不存在；④使M=2的x值有2个．
其中正确的是________．（填序号）

Answer 1

①③④
分析：若y₁=y₂，记M=y₁=y₂．首先求得抛物线与直线的交点坐标，利用图象可得当x＞2时，利用函数图象可以得出当x＞0时，利用函数图象可以得出y₂＜y₁；当-1＜x＜0时，y₁＜y₂；当x＜-1时，利用函数图象可以得出y₂＜y₁；
然后根据当x任取一值时，x对应的函数值分别为y₁、y₂．若y₁≠y₂，取y₁、y₂中的较小值记为M；即可求得答案．
解答：∵当y₁=y₂时，即x²+2x=x时，
解得：x=0或x=-1，
∴当x＞0时，利用函数图象可以得出y₂＜y₁；当-1＜x＜0时，y₁＜y₂；当x＜-1时，利用函数图象可以得出y₂＜y₁；
∴①正确；
∵抛物线y₁=x²+x，直线y₂=x，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y₁、y₂．若y₁≠y₂，取y₁、y₂中的较小值记为M；
∴当x＜-1时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越小；
∴②错误；
∵抛物线y₁=x²+2x的最小值为-1，故M小于-1的x值不存在，
∴③正确；
∵如图：当0＜x＜2时，y₁＞y₂；
当M=2，在图象的左侧和右侧均有可能，
∴④正确；
故答案为：①③④．
点评：此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用．注意掌握函数增减性是解题关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．