Question

（2005•烟台）（1）如图1，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由．
（2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米．

Answer 1

【答案】分析：（1）过点C作CM⊥AB于M，过点G作GN⊥EA交EA延长线于N，得出△ABC与△AEG的两条高，由正方形的特殊性证明△ACM≌△AGN，是判断△ABC与△AEG面积之间的关系的关键；
（2）同（1）道理知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和，求出这条小路一共占地多少平方米．
解答：解：（1）△ABC与△AEG面积相等．
理由：过点C作CM⊥AB于M，过点G作GN⊥EA交EA延长线于N，则∠AMC=∠ANG=90°，
∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，
∴∠BAE=∠CAG=90°，AB=AE，AC=AG，
∵∠BAE+∠CAG+∠BAC+∠EAG=360°，
∴∠BAC+∠EAG=180°，
∵∠EAG+∠GAN=180°，
∴∠BAC=∠GAN，
在△ACM和△AGN中，
，
∴△ACM≌△AGN，
∴CM=GN，
∵S_△ABC=AB•CM，S_△AEG=AE•GN，
∴S_△ABC=S_△AEG，

（2）由（1）知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和．
∴这条小路的面积为（a+2b）平方米．
点评：本题要利用正方形的特殊性，巧妙地借助两个三角形全等，寻找三角形面积之间的等量关系，解决问题．由正方形的特殊性证明△ACM≌△AGN，是判断△ABC与△AEG面积之间的关系的关键．