Question

已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，交AB于E，则CD的长是________．

Answer 1

7
分析：根据圆周角定理及勾股定理可得AD的长，过E作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，F，G是垂足，则四边形CFEG是正方形，设EF=EG=x，由三角形面积公式可求出x的值，及CE的值，根据△ADE∽△CBE，根据相似比可求出DE的长，进而求出CD的长．
解答：解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=10cm，AC=6cm，
∴BC===8（cm），
∵CD平分∠ACB，
∴=，
∴AD=BD，
∴AD=BD=AB=5（cm），
过E作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，F，G是垂足，则四边形CFEG是正方形，
设EF=EG=x，
∴AC•x+BC•x=AC•BC，
∴×6•x+×8×x=×6×8，
∴x=，
∴CE=x=，
∵∠DAB=∠DCB，
∵△ADE∽△CBE，
∴DE：BE=AE：CE=AD：BC，
∴DE：BE=AE：=5：8，
∴AE=，BE=AB-AE=10-=，
∴DE=，
∴CD=CE+DE=+=7（cm）．
点评：本题综合考查了圆周角定理，垂径定理，角平分线的性质，及相似三角形的性质．解答此题的关键是作出辅助线，构造正方形．