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    （2012•河南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=
    12
    x+1与抛物线y=ax2+bx-3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．
    （1）求a、b及sin∠ACP的值；
    （2）设点P的横坐标为m．
    ①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
    ②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，直接写出m的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．
    分析：（1）已知直线AB的解析式，首先能确定A、B点的坐标，然后利用待定系数法确定a、b的值；若设直线AB与y轴的交点为E，E点坐标易知，在Rt△AEO中，能求出sin∠AEO，而∠AEO=∠ACP，则∠ACP的正弦值可得．
    （2）①已知P点横坐标，根据直线AB、抛物线的解析式，求出C、P的坐标，由此得到线段PC的长；在Rt△PCD中，根据（1）中∠ACP的正弦值，即可求出PD的表达式，再根据所得函数的性质求出PD长的最大值．
    ②在表达△PCD、△PBC的面积时，若都以PC为底，那么它们的面积比等于PC边上的高的比．分别过B、D作PC的垂线，首先求出这两条垂线段的表达式，然后根据题干给出的面积比例关系求出m的值．
    解答：解：（1）由
    1
    2
    x+1=0，得x=-2，∴A（-2，0）．
    由
    1
    2
    x+1=3，得x=4，∴B（4，3）．
    ∵y=ax2+bx-3经过A、B两点，
    ∴
    (-2)2•a-2b-3=0
    42•a+4b-3=3

    ∴
    a=
    1
    2
    b=-
    1
    2
    ，
    则抛物线的解析式为：y=
    1
    2
    x2-
    1
    2
    x-3，
    设直线AB与y轴交于点E，则E（0，1）．
    ∵PC∥y轴，
    ∴∠ACP=∠AEO．
    ∴sin∠ACP=sin∠AEO=
    OA
    AE
    =
    2
    		5
    =
    2
    		5
    5
    ．

    （2）①由（1）知，抛物线的解析式为y=
    1
    2
    x2-
    1
    2
    x-3．则点P（m，
    1
    2
    m2-
    1
    2
    m-3）．
    已知直线AB：y=
    1
    2
    x+1，则点C（m，
    1
    2
    m+1）．
    ∴PC=
    1
    2
    m+1-（
    1
    2
    m2-
    1
    2
    m-3）=-
    1
    2
    m2+m+4=-
    1
    2
    （m-1）2+
    9
    2

    Rt△PCD中，PD=PC•sin∠ACP=[-
    1
    2
    （m-1）2+
    9
    2
    ]•
    2
    		5
    5
    =-
    		5
    5
    （m-1）2+
    9
    		5
    5

    ∴PD长的最大值为：
    9
    		5
    5
    ．

    ②如图，分别过点D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为F、G．
    ∵sin∠ACP=
    2
    		5
    5
    ，
    ∴cos∠ACP=
    1
    		5
    ，
    又∵∠FDP=∠ACP
    ∴cos∠FDP=
    DF
    DP
    =
    1
    		5
    ，
    在Rt△PDF中，DF=
    1
    		5
    PD=-
    1
    5
    （m2-2m-8）．
    又∵BG=4-m，
    ∴
    S△PCD
    S△PBC
    =
    DF
    BG
    =
    -
    1
    5
    (m2-2m-8)
    4-m
    =
    m+2
    5
    ．
    当
    S△PCD
    S△PBC
    =
    m+2
    5
    =
    9
    10
    时，解得m=
    5
    2
    ；
    当
    S△PCD
    S△PBC
    =
    m+2
    5
    =
    10
    9
    时，解得m=
    32
    9
    ．
    点评：本题考查了二次函数的应用以及解析式的确定、解直角三角形、图形面积的求法等知识，主要考查学生数形结合思想的应用能力．
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    （2）填空：①当AM的值为
    1
    1
    时，四边形AMDN是矩形；
               ②当AM的值为
    2
    2
    时，四边形AMDN是菱形．

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    12
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    65°
    65°
    ．

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