Question

如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形
（1）求证：△ACE≌△DBE；
（2）若点P、Q、M、N分别是AB、BC、CD和DA中点，
①请在图上画出四边形PQMN；
②试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论；
③如果四边形ABCD的面积为a，猜一猜四边形PQMN的面积是多少？并写出解答过程．

Answer 1

（1）证明：∵△ADE和△BCE都是等边三角形
∴AE=DE，CE=BE，∠AED=∠CBE，
∴∠AED+∠DEC=∠BEC+∠DEC
即∠AEC=∠DEB
∴△ACE≌△DBE（SAS）．

（2）解：①在图中上画出四边形

②四边形PQMN为菱形
证明：∵P、Q分别是AB与BC的中点
∴PQ平行且等于AC
同理MN平行且等于AC，PN平行且等于BD
∴PQ平行且等于MN
∴四边形PQMN是平行四边形
由（1）△ACE≌△DBE得AC=BD
∴PQ=PN
∴四边形PQMN是菱形．
③如果四边形ABCD的面积为a，则四边形PQMN的面积是a
∵PQ平行且等于AC，∴S_△PBQ=S_△ABC
同理S_△DMN=S_△ACD
∴S_△DMN+S_△PBQ=S_{四边形ABCD}=a
同理S_△APN+S_△CQM=a
∴四边形PQMN的面积为S_{四边形PQMN}=a-a-a=a．
分析：（1）由△ADE和△BCE都是等边三角形，得出AE=DE，CE=BE，∠AED=∠BEC，则可得出△ACE≌△DBE．
（2）②因为点P、Q、M、N分别是AB、BC、CD和DA中点，所以PQ平行且等于AC，MN平行且等于AC，PN平行且等于BD，又△ACE≌△DBE得AC=BD，即PQ=PN，所以四边形PQMN是菱形．
③因为PQ平行且等于AC，所以S_△PBQ=S_△ABC，同理S_△DMN=S_△ACD，同样S_△APN=S_△ABD，
S_△CQM=S_△CBD，∴四边形PQMN的面积为S_{四边形PQMN}=a--=．
点评：此题是一个综合性很强的题目，主要考查了等边三角形的性质，菱形的判定方法，求四边形的面积等，同学们要熟练掌握．