Question

如图，抛物线与x轴相交于B，C两点，与y轴相交于点A，P（2a，-4a²+7a+2）（a是实数）在抛物线上，直线y=kx+b经过A，B两点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）平行于y轴的直线x=2交直线AB于点D，交抛物线于点E．
①直线x=t（0≤t≤4）与直线AB相交F，与抛物线相交于点G．若FG：DE=3：4，求t的值；
②将抛物线向上平移m（m＞0）个单位，当EO平分∠AED时，求m的值．

Answer 1

解：（1）∵P（2a，-4a²+7a+2）（a是实数）在抛物线上，
∴抛物线的解析式为y=-4a²+7a+2=-4×（）²+7×+2=-x²+x+2，
当y=0时，即-x²+x+2=0，
解得x₁=-，x₂=4，
当x=0时，y=2．
∴A（0，2），B（4，0），C（-，0），
将点A、B的坐标代入y=kx+b，得：
解得：，
故直线AB的解析式为y=-x+2．

（2）①∵点E（2，5），D（2，1），G（t，-t²+t+2），F（t，-t+2），
∴DE=4，FG=-t²+t+2-（-t+2）=-t²+4t，
∵FG：DE=3：4，
∴-t²+4t=3，
解得t₁=1，t₂=3．
②设点A（0，2+m），则点E（2，5+m），
作AH⊥DE，垂足为H，
∴AE²=AH²+HE²=2²+（5+m-2-m）²=13，即AE=，
∵EO平分∠AED，
∴∠AEO=∠DEO，
∵AO∥ED，
∴∠DEO=∠AOE，
∴∠AEO=∠AOE，
∴AO=AE，即2+m=，
解得m=2-．
分析：（1）根据点P的坐标，可得出抛物线解析式，然后求出A、B、C的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式；
（2）①根据点E（2，5），D（2，1），G（t，-t²+t+2），F（t，-t+2），表示出DE、FG，再由FG：DE=3：4，可得出t的值；
②设点A（0，2+m），则点E（2，5+m），作AH⊥DE，垂足为H，在Rt△AEH中利用勾股定理求出AE，根据EO平分∠AED及平行线的性质可推出∠AEO=∠AOE，AO=AE，继而可得出m的值．
点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、平行线的性质及等腰三角形的判定与性质，本题的突破口在于根据点P的坐标得出抛物线解析式，同学们注意培养自己解答综合题的能力，将所学知识融会贯通．