Question

如图，正方形ABCO的边长为，以O为原点建立平面直角坐标系，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，把正方形ABCO绕点O顺时针旋转α后得到正方形A₁B₁C₁O（α＜45°），B₁C₁交y轴于点D，且D为B₁C₁的中点，抛物线y=ax²+bx+c过点A₁、B₁、C₁。
（1）求tanα的值；
（2）求点A₁的坐标，并直接写出点B₁、点C₁的坐标；
（3）求抛物线的函数表达式及其对称轴；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PB₁C₁为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）四边形为正方形， ∴， 又∵D是的中点， ∴ ∵由旋转性质可知， ∴在中，， ∴的值是； （2）过点A1作轴，垂足为点E， 在中，， ∴ 设，则，在中，， 根据勾股定理，得 即，解得（舍），， ∴ 又∵点A1在第二象限， ∴点A1的坐标为， 直接写出点B2的坐标为，点C1的坐标为； （3）抛物线过点， ∴ 解得 ∴抛物线的函数表达式为， 将其配方，得， ∴抛物线的对称轴是直线； （4）存在点P，使为直角三角形， 满足条件的点P共有4个：，。