Question

13．已知：矩形ABCD中，AB=1，AD=a，在BC边上存在唯一一点Q，使AQ⊥DQ，求a．

Answer 1

分析 以AD为直径作圆，结合在BC边上存在唯一一点Q使AQ⊥DQ，即可得出点Q为线段BC的中点，根据勾股定理即可得出关于a的方程，解方程即可得出a的值．

解答 解：以AD为直径作圆，如图所示．
∵在BC边上存在唯一一点Q，使AQ⊥DQ，
∴点Q为线段BC的中点．
在Rt△ABQ中，AB=1，BQ=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$a，
∴AQ=$\sqrt{A{B}^{2}+B{Q}^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{{a}^{2}}{4}}$，
同理可得：DQ=AQ=$\sqrt{1+\frac{{a}^{2}}{4}}$．
在Rt△ADQ中，AQ=DQ=$\sqrt{1+\frac{{a}^{2}}{4}}$，
∴AD=$\sqrt{2}$AQ=$\sqrt{2}$$\sqrt{1+\frac{{a}^{2}}{4}}$=a，
解得：a=2．或a=-2（舍去）．

点评 本题考查了矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是找出点Q的位置．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，借助于画圆找出点Q的位置是关键．