Question

20．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P为BC上一点，且和B，C不重合，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E，将△PEC沿EP翻折至△PEG，点G正好落在AD上．求PB的长．

Answer 1

分析 作PH⊥AD于H，如图，设BP=x，则CP=4-x，利用等角的余角相等得到∠1=∠3，则根据相似三角形的判定得到Rt△ABP∽Rt△PCE，利用相似比得CE=$\frac{x（4-x）}{2}$，再根据折叠的性质得EG=CE=$\frac{x（4-x）}{2}$，PG=PC=4-x，∠PGE=∠C=90°，所以DE=DC-CE=2-$\frac{x（4-x）}{2}$，∠5+∠6=90°，然后证明Rt△PHG∽Rt△GDE，利用相似比得到GD=x，在Rt△DGE中，根据勾股定理得[2-$\frac{x（4-x）}{2}$]²+x²=[$\frac{x（4-x）}{2}$]²，整理得3x²-8x+4=0，最后解一元二次方程即可．

解答 解：作PH⊥AD于H，如图，设BP=x，则CP=4-x．

∵PE⊥PA，
∴∠2+∠3=90°，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∴Rt△ABP∽Rt△PCE，
∴$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CE}$．即$\frac{2}{4-x}=\frac{x}{CE}$．
∴CE=$\frac{x（4-x）}{2}$．
∵△PEC沿PE翻折到△PEG位置，使点G落到AD上，
∴EG=CE=$\frac{x（4-x）}{2}$，PG=PC=4-x，∠PGE=∠C=90°，
∴DE=DC-CE=2-$\frac{x（4-x）}{2}$．
∴∠5+∠6=90°．
∵∠4+∠6=90°，
∴∠5=∠4．
∴Rt△PHG∽Rt△GDE，
∴$\frac{PH}{GD}=\frac{PG}{GE}$，即$\frac{2}{GD}=\frac{4-x}{\frac{x（4-x）}{2}}$．
∴GD=x，
在Rt△DGE中，
∵DE²+DG²=GE²，
∴[2-$\frac{x（4-x）}{2}$]²+x²=[$\frac{x（4-x）}{2}$]²，
整理得3x²-8x+4=0，解得x₁=$\frac{2}{3}$，x₂=2，
∴BP的长为$\frac{2}{3}$或2．

点评 本题考查了折叠的性质、相似三角形的性质和判定，证得Rt△ABP∽Rt△PCE、Rt△PHG∽Rt△GDE是解题的关键．