Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴相交点C（0，）．
（1）求该二次函数解析式；
（2）连接AC、BC，点M、N分别是线段AB、BC上的动点，且始终满足BM=BN，连接MN．
①将△BMN沿MN翻折，B点能恰好落在AC边上的P处吗？若能，请判断四边形BMPN的形状并求出PN的长；若不能，请说明理由．　
②将△BMN沿MN翻折，B点能恰好落在此抛物线上吗？若能，请直接写出此时B点关于MN的对称点Q的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）将A、B、C三点坐标分别代入y=ax²+bx+c（a≠0）中得：
，解得：
∴该二次函数解析式为：y=-x²-x+．

（2）①假设B点能恰好落在AC边上的P处，由题知：OA=3，OB=1，OC=，
∴AC=2，BC=2，AB=4；
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，∠A=30°，∠B=60°．
又由BM=BN=PN=PM知四边形BMPN为菱形．
设PN=m，由PN∥AB可得：
=，即 =．
∴m=，即PN的长为．
②由①知：QN始终与x轴平行，若点Q在抛物线上，则点N也在抛物线上，且QN=CB=2；
已知C（0，），则 Q（-2，）；
当x=-2时，y=-x²-x+=-×4-×（-2）+=，
∴Q（-2，）正好在抛物线的图象上；
故答案：能，此时Q的坐标为（-2，）．
分析：（1）将A、B、C三点的坐标直接代入二次函数的解析式中，由待定系数法即可得解．
（2）由A、B、C的坐标不难看出：OB=1、OC=、OA=3，那么△OAC、△OBC都是含30°角的特殊直角三角形，且∠OBC=60°，若BM=BN，那么△BMN是等边三角形，而△PMN是由△BMN翻折所得，这两个三角形全等，即∠PNM=∠BNM=∠BMN=60°，由此可判定PN∥BM；
①假设B点恰好落在AC边上的点P处；
首先判断四边形PNBM的形状：由于△BMN、△PNM都是等边三角形，所以PN=PM=BM=BN=MN，所以这个四边形是个菱形；
再求PN的长：PN∥AB，那么由平行线分线段成比例定理结合PN=BN，列出关于PN的方程，通过解方程则答案可求．
②上面已经判断出QN∥x轴，若点Q在抛物线图象上，那么点N也必须在抛物线的图象上，此时N、C必须重合，首先将点C的坐标向左平移CB长个单位得到点Q的坐标，然后代入抛物线的解析式中进行验证即可．
点评：此题是动态下的二次函数、轴对称和全等三角形问题；前面的两个小问较简单，首先解方程组求二次函数解析式；再判断四边形PMBN为菱形，由PN∥AB可得线段成比例，运用方程思想求得PN的长为．最后一问是特殊位置，点N与点C重合时的情况．本题是一道综合性较强的题目．