Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，且BC=2AD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M．
（1）求证：△BEM∽△DFM；
（2）若BD=12cm，求DM的长．

Answer 1

（1）证明：∵BC=2AD，F是BC的中点，
∴BF=AD，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABFD是平行四边形，（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴AB∥FD，
∴∠BEM=∠DFM，（两直线平行，内错角相等）
又∵∠BME=∠DMF（对顶角相等）
∴△BEM∽△DFM（两角对应相等，两三角形相似）．

（2）解：∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AB=DF，
∵E是AB的中点，
∴BE=DF，
∵△BEM∽△DFM，，
∴，DM=8cm．
分析：（1）由于BC=2AD，且F是BC的中点，可证得BF=AD，即BF与AD平行且相等，由此可得四边形ABFD是平行四边形，由此可得AB∥DF，即可证得△BEM∽△DFM．
（2）由（1）知四边形ABFD是平行四边形，那么DF=AB=2BE，即（1）所得相似三角形的相似比为1：2，由此可得DM=2BM，联立BD的长，即可求得DM的长．
点评：此题主要考查了平行四边形的判定以及相似三角形的判定和性质，能够发现四边形ABFD是平行四边形，是解决此题的关键．