Question

提出问题：
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH；
类比探究：
（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；
综合运用：
（3）在（2）问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：几何综合题,探究型

分析：（1）由正方形的性质得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE=DH；
（2）EF=GH．将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF，将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH；
（3）易得△AHF∽△CGE，所以

AF

CE

=

FH

EG

=

FO

OE

=

1

2

，由EC=2得AF=1，过F作FP⊥BC于P，根据勾股定理得EF=

17

，因为FH∥EG，所以

FO

FE

=

HO

HG

，根据（2）①知EF=GH，所以FO=HO，再求得三角形FOH与三角形EOG的面积相加即可．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．
∴∠HAO+∠OAD=90°．
∵AE⊥DH，
∴∠ADO+∠OAD=90°．
∴∠HAO=∠ADO．
∴△ABE≌△DAH（ASA），
∴AE=DH．

（2）EF=GH．
将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF．
将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．

∵EF⊥GH，
∴AM⊥DN，
根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH；

（3）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD
∴∠AHO=∠CGO
∵FH∥EG
∴∠FHO=∠EGO
∴∠AHF=∠CGE
∴△AHF∽△CGE
∴

AF

CE

=

FH

EG

=

FO

OE

=

1

2

∵EC=2
∴AF=1
过F作FP⊥BC于P，
根据勾股定理得EF=

17

，
∵FH∥EG，
∴

FO

FE

=

HO

HG

根据（2）①知EF=GH，
∴FO=HO．
∴S△FOH=

1

2

FO2=

1

2

×(

1

3

EF)2=

17

18

，
S△EOG=

1

2

EO2=

1

2

×(

2

3

EF)2=

68

18

，
∴阴影部分面积为

85

18

．

点评：本题考查了三角形的综合知识．用到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等综合性较强，难度较大．