Question

11．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）根据两角相等证明：△ABD∽△DCE；
（2）如图1，作高AF，根据直角三角形30°的性质求AF的长，根据勾股定理求BF的长，则可得BC的长，根据（1）中的相似列比例式可得函数关系式，并确定取值；
（3）分三种情况进行讨论：
①当AD=DE时，如图2，
由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2$\sqrt{3}$-x；
②当AE=ED时，如图3，则ED=$\frac{1}{2}$EC，即y=$\frac{1}{2}$（2-y）；
③当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，
此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在．

解答 证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，
∴∠ABD=∠ACB=30°，
∴∠ABD=∠ADE=30°，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，
∴∠EDC=∠DAB，
∴△ABD∽△DCE；
（2）如图1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，
过A作AF⊥BC于F，
∴∠AFB=90°，
∵AB=2，∠ABF=30°，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴BF=$\sqrt{3}$，
∴BC=2BF=2$\sqrt{3}$，
则DC=2$\sqrt{3}$-x，EC=2-y，
∵△ABD∽△DCE，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{DC}{CE}$，
∴$\frac{2}{x}=\frac{2\sqrt{3}-x}{2-y}$，
化简得：y=$\frac{1}{2}{x}^{2}-\sqrt{3}$x+2（0＜x＜2$\sqrt{3}$）；
（3）当AD=DE时，如图2，
由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，
则AB=CD，即2=2$\sqrt{3}$-x，
x=2$\sqrt{3}$-2，代入y=$\frac{1}{2}{x}^{2}-\sqrt{3}$x+2，
解得：y=4-2$\sqrt{3}$，即AE=4-2$\sqrt{3}$，
当AE=ED时，如图3，
∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°，
∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，
则ED=$\frac{1}{2}$EC，即y=$\frac{1}{2}$（2-y），
解得：y=$\frac{2}{3}$，即AE=$\frac{2}{3}$，
当AD=AE时，
∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，
此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在，
∴当△ADE是等腰三角形时，AE=4-2$\sqrt{3}$或$\frac{2}{3}$．

点评 本题是相似形的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质、直角三角形30°角的性质，本题的几个问题全部围绕△ABD∽△DCE，解决问题；难度适中．