Question

20．在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合（如图），（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）求折痕EF的长．

Answer 1

分析 （1）EF与BD相交于点O，根据折叠的性质得到ED=EB，FD=FB，EF⊥BD，则∠EDB=∠EBD，由DC∥AB得∠EBD=∠CDB，则∠EDO=∠FDO，而DO⊥EF，可得△DEF为等腰三角形，得到DE=EB=BF=FD，于是可判断四边形DEBF为菱形；
（2）先利用勾股定理计算出BD=10，设BE=x，则DE=x，AE=8-x，在Rt△ABE中根据勾股定理得到6²+（8-x）²=x²，可解得x=$\frac{25}{4}$，然后根据菱形的面积公式计算EF的长．

解答 解：（1）EF与BD相交于点O，如图
∵矩形ABCD纸片折叠，使点D与点B重合，
∴EF垂直平分BD，
∴ED=EB，FD=FB，EF⊥BD，
∴∠EDB=∠EBD，
∵DC∥AB，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠EDO=∠FDO，
而DO⊥EF，
∴△DEF为等腰三角形，
∴DF=DE，
∴DE=EB=BF=FD，
∴四边形DEBF为菱形；
（2）在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=10，
设BE=x，则DE=x，AE=8-x，
在Rt△ABE中，AB²+AE²=DE²，即6²+（8-x）²=x²，解得x=$\frac{25}{4}$，
即BE=$\frac{25}{4}$，
∵$\frac{1}{2}$S_菱形DEBF=S_三角形DEB
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$EF•DB=$\frac{1}{2}$DE•AB，
∴$\frac{1}{2}$×EF×10=6×$\frac{25}{4}$，
∴EF=$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；对应点的连线段被折痕垂直平分．也考查了矩形的性质、菱形的判定方法以及勾股定理．