Question

平面内，若点P与A、B两点构成等腰三角形，我们称点P是A、B两点的“巧妙点”．类似地，平面内，若点P与A、B、C三点中的任意两点均构成等腰三角形，我们则称点P是A、B、C三点的“巧妙点”．若A、B、C三点构成三角形，也可称点P是△ABC的“巧妙点”，则等边三角形ABC的“巧妙点”的个数有________个．

Answer 1

10
分析：根据“巧妙点”的定义利用：（1）点P在三角形的内部时，点P到△ABC的三个顶点的距离相等，所以点P是三角形的外心；
（2）点P在三角形的外部时，每条边的垂直平分线上的点只要能够使顶点这条边的两端点连接而成的三角形是等腰三角形即可．
解答：解：（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心，
（2）点P在三角形外部时，一个对称轴上有三个点，如图：
共有9个点符合要求，
∴具有这种性质的点P共有10个．
故答案为：10．
点评：本题主要考查了等腰三角形的性质，要注意分点在三角形内部和三角形外部两种情况讨论，思考全面是正确解答本题的关键，难度适中．