Question

已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径的⊙O交斜边AB于E，OD∥AB．求证：①ED是⊙O的切线；②2DE²=BE•OD．

Answer 1

证明：①连接OE，
∵OD∥AB，
∴∠COD=∠A，∠DOE=∠OEA，
∵OA=OE，
∴∠A=∠OEA，
∴∠COD=∠DOE，
在△COD和△EOD中，
，
∴△COD≌△EOD（SAS），
∴∠OCD=∠OED=90°，
∴DE⊥OE，
则DE为圆O的切线；
②由△COD≌△EOD，得到CD=ED，
∵BC为圆O的切线，BA为圆O的割线，
∴BC²=BE•BA，
∵O为AC的中点，OD∥AB，
∴D为BC的中点，即OD为△ABC的中位线，
∴BA=2OD，BC=2CD=2DE，
则4DE²=BE•2OD，即2DE²=BE•OD．
分析：①连接OE，由OD与AB平行得到一对同位角相等，一对内错角相等，再由半径相等，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对角相等，利用SAS得出三角形OCD与三角形OED全等，由全等三角形对应角相等及垂直的定义得到ED垂直于OE，即ED为圆O的切线；
②由第一问的全等得到CD=ED，再由BC为圆的切线，BA为圆的割线，利用切割线定理列出关系式，根据O为AC中点，OD平行于AB，得到D为BC中点，即OD为三角形ABC的中位线，利用三角形中位线定理得到AB=2OD，BC=2CD=2DE，代换即可得证．
点评：此题考查了切线的判定，切割线定理，全等三角形的判定与性质，中位线定理，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．