Question

如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD=12cm，AC=6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度运动．
（1）若点E、F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形．
（2）在（1）的条件下，①当AB为何值时，四边形AECF是菱形；②四边形AECF可以是矩形吗？为什么？

Answer 1

解：（1）若四边形AECF为平行四边形，
∴AO=OC，EO=OF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=OD=6cm，
∴EO=6-t，OF=2t，
∴6-t=2t，
∴t=2s，
∴当t为2秒时，四边形AECF是平行四边形；

（2）①若四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AO²+BO²=AB²，
∴AB==；
②不可以．
若是矩形，EF=AC，
∴6-t+2t=6，
∴t=0，
则此时E在点B上，F在O上，
显然四边形AECF不是矩形．
分析：（1）若是平行四边形，所以BD=12cm，则B0=DO=6cm，故有6-1t=2t，即可求得t值；
（2）①若是菱形，则AC垂直于BD，即有AO²+BO²=AB²，故AB可求；
②若是矩形，EF=AC，则此时E在O上，所以四边形AECF不可以是矩形．
点评：本此综合考查平行四边形的判定和菱形的判定．考查学生综合运用数学知识的能力．