Question

6．已知关于x的一元二次方程x²-2kx+k²+2=2（1-x）有两个实数根x₁，x₂．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两实根x₁，x₂满足|x₁+x₂|=x₁x₂-1，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程有两个实数根可以得到△≥0，从而求得k的取值范围；
（2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k的值即可．

解答 解：x²-2kx+k²+2=2（1-x），
整理得x²-（2k-2）x+k²=0．
（1）∵方程有两个实数根x₁，x₂．
∴△=（2k-2）²-4k²≥0，
解得k≤$\frac{1}{2}$；

（2）由根与系数关系知：
x₁+x₂=2k-2，x₁x₂=k²，
又|x₁+x₂|=x₁x₂-1，代入得，
|2k-2|=k²-1，
∵k≤$\frac{1}{2}$，
∴2k-2＜0，
∴|2k-2|=k²-1可化简为：k²+2k-3=0．
解得k=1（不合题意，舍去）或k=-3，
∴k=-3．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．以及根与系数的关系．