Question

12．如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE．下列结论：
①∠ACD=30°；②S_?ABCD=AC•BC；③OE：AC=$\sqrt{3}$：6；④S_△OCF=2S_△OEF
成立的个数有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据角平分线的定义得到∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE是等边三角形，证得∠ACB=90°，求出∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；由AC⊥BC，得到S_?ABCD=AC•BC，故②正确，根据直角三角形的性质得到AC=$\sqrt{3}$BC，根据三角形的中位线的性质得到OE=$\frac{1}{2}$BC，于是得到OE：AC=$\sqrt{3}$：6；故③正确；根据相似三角形的性质得到$\frac{CF}{EF}=\frac{BC}{OE}$=2，求得S_△OCF=2S_△OEF；故④正确．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵CE平分∠BCD交AB于点E，
∴∠DCE=∠BCE=60°
∴△CBE是等边三角形，
∴BE=BC=CE，
∵AB=2BC，
∴AE=BC=CE，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；
∵AC⊥BC，
∴S_?ABCD=AC•BC，故②正确，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴AC=$\sqrt{3}$BC，
∵AO=OC，AE=BE，
∴OE=$\frac{1}{2}$BC，
∴OE：AC=$\frac{\frac{1}{2}BC}{\sqrt{3}BC}$，
∴OE：AC=$\sqrt{3}$：6；故③正确；
∵AO=OC，AE=BE，
∴OE∥BC，
∴△OEF∽△BCF，
∴$\frac{CF}{EF}=\frac{BC}{OE}$=2：1，
∴S_△OCF：S_△OEF=$\frac{CF}{EF}$=2，
∴S_△OCF=2S_△OEF；故④正确；
故选D．

点评 此题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△BCE是等边三角形，OE是△ABC的中位线是关键．