Question

16．由点A向圆引切线AB和AC，PQ是圆的直径，直线l切圆于点Q，直线PA，PB和PC交直线l于点A₁，B₁和C₁，证明：A₁B₁=A₁C₁．

Answer 1

分析 如图，过点A作DE∥B₁C₁，交直线PB₁于D，交直线PC₁于E．连接BQ，设AB交B₁C₁于F．首先证明AB=AD同理可得AC=AE，由AB=AC，推出AD=AE，再根据B₁C₁∥ED，得$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{AD}$=$\frac{P{A}_{1}}{PA}$=$\frac{{A}_{1}{C}_{1}}{AE}$，由此即可证明．

解答 证明：如图，过点A作DE∥B₁C₁，交直线PB₁于D，交直线PC₁于E．连接BQ，设AB交B₁C₁于F．

∴FB=FQ，∠FBQ=∠FQB，
∵PQ是直径，
∴∠PBQ=∠QBB₁=90°，
∴∠FBB₁+∠FBQ=90°，∠BB₁Q+∠BQB₁=90°，
∴∠FBB₁=∠FB₁B，
∵DE∥B₁C₁，
∴∠ADB=∠BB₁Q=∠ABD，
∴AB=AD，同理可证AC=AE，
∵AB，AC是切线，
∴AB=AC，
∴AD=AE，
∵B₁C₁∥ED，
∴$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{AD}$=$\frac{P{A}_{1}}{PA}$=$\frac{{A}_{1}{C}_{1}}{AE}$，
∴A₁B₁=A₁C₁．

点评 本题考查了切线的性质、平行线分线段成比例定理、切线长定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线利用平行线分线段成比例定理解决问题，题目比较难，有一定的挑战性．