Question

已知：如图，点O是平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（0，-4），点B为x轴上一动点，以线段AB为边作正方形ABCD（按逆时针方向标记），正方形ABCD随着点B的运动而随之相应变动．点E为y轴的正半轴与正方形ABCD某一边的交点，设点B的坐标为（t，0），线段OE的长度为m．
（1）当t=3时，求点C的坐标；
（2）当t＞0时，求m与t之间的函数关系式；
（3）是否存在t，使点M（-2，2）落在正方形ABCD的边上？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由点C向x轴作垂线，构造△BFC≌△AOB，从而求出点C的坐标；
（2）分0＜t≤4和t＞4两种情况讨论，然后利用三角形相似求解；
（3）分t＜0，0＜t≤4和t＞4三种情况讨论，结合图形进行解答．

解答：解：（1）由点C向x轴作垂线，垂足为F，则△AOB≌△BFC，所以CF=BO=3，BF=OA=4，故点C的坐标为（-1，3）（3分）

（2）当0＜t≤4时，CB与y轴交于点E，∵∠OBE+∠OBA=90°，∠OBE+∠OEB=90°，∴∠OEB=∠OBA，又∵∠AOB=∠BOE=90°，
∴△AOB∽△BOE，∴

AO

BO

=

OB

OE

，∴m=

1

4

t2；（5分）
当t＞4时，CD与y轴交于点E，∵∠OAB+∠EAD=90°，∠DAE+∠DEA=90°，∴∠OAB=∠DEA，又∵∠AOB=∠ADE=90°，
∴△AOB∽△EDA，∴

AB

AE

=

OB

AD

，其中AB=AD=

16+t2

，AE=m+4，OB=t，∴m=t+

16

t

-4；（7分）
故m=

1 4 t2(0＜t＜4)  t+ 16 t -4  (t＞4)

；

（3）存在，
①当t≤0时
∵正方形ABCD位于x轴的下方（含x轴）∴此时不存在（8分）
②当0＜t≤4时，
当点M在BC边上时，t=2，或t=-4（舍）（9分）
当点M在CD边上时，t=2，或t=4（10分）
③当t＞4时，
当点M在CD边上时，t=2（舍）；t=4（舍） （11分）
当点M在AD边上时，t=12 （12分）
综上所述：存在，符合条件的t的值为2、4、12．

点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质．搞清楚B点运动时y轴与正方形边长的位置关系，及正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．