Question

如图①，直角三角形AOB中，∠AOB=90°，AB平行于x轴，OA=2OB，AB=5，反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象经过点A．
（1）直接写出反比例函数的解析式；
（2）如图②，P（x，y）在（1）中的反比例函数图象上，其中1＜x＜8，连接OP，过点O 作OQ⊥OP，且OP=2OQ，连接PQ．设点Q坐标为（m，n），其中m＜0，n＞0，求n与m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若Q坐标为（m，1），求△POQ的面积．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）如图①，在Rt△OAB中利用勾股定理计算出OB=

5

，OA=2

5

，由于AB平行于x轴，则OC⊥AB，则可利用面积法计算出OC=2，在Rt△AOC中，根据勾股定理可计算出AC=4，得到A点坐标为（4，2），然后利用待定系数法确定反比例函数解析式为y=

8

x

；
（2）分别过P、Q做x轴垂线，垂足分别为H、D，如图②，先证明Rt△POH∽Rt△OQD，根据相似的性质得

OH

QD

=

PH

OD

=

OP

OQ

，由于OP=2OQ，PH=y，OH=x，OD=-m，QD=n，则

x

n

=

y

-m

=2，即有x=2n，y=-2m，而x、y满足y=

8

x

，则2n•（-2m）=8，即mn=-2，当1＜x＜8时，1＜y＜8，所以1＜-2m＜8，解得-4＜m＜-

1

2

；
（3）由于n=1时，m=-2，即Q点坐标为（-2，1），利用两点的距离公式计算出OQ=

5

，则OP=2OQ=2

5

，然后根据三角形面积公式求解．

解答：解：（1）如图①，∵∠AOB=90°，
∴OA²+OB²=AB²，
∵OA=2OB，AB=5，
∴4OB²+OB²=25，解得OB=

5

，
∴OA=2

5

，
∵AB平行于x轴，
∴OC⊥AB，
∴

1

2

OC•AB=

1

2

OB•OA，即OC=

5 ×2 5

5

=2，
在Rt△AOC中，AC=

OA2-OC2

=4，
∴A点坐标为（4，2），
设过A点的反比例函数解析式为y=

k

x

，
∴k=4×2=8，
∴反比例函数解析式为y=

8

x

；

（2）分别过P、Q作x轴垂线，垂足分别为H、D，如图②，
∵OQ⊥OP，
∴∠POH+∠QOD=90°，
∵∠POH+∠OPH=90°，
∴∠QOD=∠OPH，
∴Rt△POH∽Rt△OQD，
∴

OH

QD

=

PH

OD

=

OP

OQ

，
∵P（x，y）在（1）中的反比例函数图象上，其中1＜x＜8，Q点坐标为（m，n），其中m＜0，n＞0，OP=2OQ，
∴PH=y，OH=x，OD=-m，QD=n，
∴

x

n

=

y

-m

=2，解得x=2n，y=-2m，
∵y=

8

x

，
∴2n•（-2m）=8，
∴mn=-2（-4＜m＜-

1

2

）；

（3）∵n=1时，m=-2，即Q点坐标为（-2，1），
∴OQ=

12+(-2)2

=

5

，
∴OP=2OQ=2

5

，
∴S_△POQ=

1

2

×

5

×2

5

=5．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法求反比例函数解析式；理解坐标与图形的性质；会利用相似比和勾股定理进行几何计算．