Question

已知关于x的两个一元二次方程：
方程：    ①
方程：      ②
（1）若方程①、②都有实数根，求k的最小整数值；
（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根；则方程①，②中没有实数根的方程是______（填方程的序号），并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若k为正整数，解出有实数根的方程的根．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据判别式的意义得到△₁=（2k-1）²-4（k²-2k+）=4k-25≥0，则有k≥；△₂=（k+2）²-4（2k+）≥0，则k≥5或k≤-1，由于方程①、②都有实数根，于是有k≥，则k的最小整数值为7；
（2）当k≥5或k≤-1时，方程②有实数根，此时不一定满足k≥，则若方程①和②中只有一个方程有实数根；则方程①和②中只有一个方程有实数根，只有方程②有实数根，方程①不一定实数根；
（3）由于方程②有实数根，方程①没有实数根，则5≤k＜，得到k=5或6，然后把它们分别代入方程，利用因式分解法或求根公式法解方程即可．
解答：解：（1）∵△₁=（2k-1）²-4（k²-2k+）=4k-25≥0，
∴k≥，
∵△₂=（k+2）²-4（2k+）≥0，
∴k²-4k-5≥0，（k-5）（k+1）≥0，
∴k≥5或k≤-1，
∴k≥，
∴k的最小整数值为7；

（2）当方程①有实数根，k≥，则方程②有实数根；
∵方程①和②中只有一个方程有实数根，
当方程②有实数根，方程①不一定实数根；
故答案为①；

（3）∵k为正整数，
且5≤k＜，
∴k=5或6，
当k=5时，方程②变形为x²-7x+=0，即（x-）²=0，
∴x₁=x₂=；
当k=6，方程②变形为x²-8x+=0，
△=64-4×=7，
∴x=
∴x₁=，x₂=．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．