Question

已知方程有两个不同的实数根，方程也有两个不同的实数根，且其两根介于方程的两根之间，求k的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

a－4＜k ＜a ² .

【解析】

试题分析：一方面由一元二次方程根的判别式得出k ＜a ²；另一方面由二次函数y₁＝x ²＋2ax＋a－4和y₂＝x ²＋2ax＋k，它们的对称轴相同，且与x轴都有两个不同的交点，从而根据y₂与x轴的两个交点都在y₁与x轴的两个交点之间得到y₂与y轴的交点在y₁与y轴的交点上方，即k ＞a－4.

试题解析：∵方程有两个不同的实数根，

∴△₁＞0，而△₁＝4a ²－4(a－4)＝4(a－)²＋15≥15.

又∵方程x ²＋2ax＋k＝0也有两个不同的实数根，

∴△₂＝4a ²－4k＞0，即k ＜a ² .

对于二次函数y₁＝x ²＋2ax＋a－4和y₂＝x ²＋2ax＋k，它们的对称轴相同，且与x轴都有两个不同的交点，

∵y₂与x轴的两个交点都在y₁与x轴的两个交点之间，

∴y₂与y轴的交点在y₁与y轴的交点上方，如图.

∴k ＞a－4 .

∴k的取值范围是：a－4＜k ＜a ² .

考点：1.一元二次方程根的判别式；2. 一元二次方程与二次函数的关系；3.数形结合思想的应用.