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(2009•黑河)已知:在△ABC中,BC>AC,动点D绕△ABC的顶点A逆时针旋转,且AD=BC,连接DC.过AB、DC的中点E、F作直线,直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N.
(1)如图1,当点D旋转到BC的延长线上时,点N恰好与点F重合,取AC的中点H,连接HE、HF,根据三角形中位线定理和平行线的性质,可得结论∠AMF=∠BNE(不需证明);
(2)当点D旋转到图2或图3中的位置时,∠AMF与∠BNE有何数量关系?请分别写出猜想,并任选一种情况证明.

【答案】分析:两题思路基本相同,都需要作出两条辅助线,两次运用中位线定理解答.
解答:解:图1:∠AMF=∠ENB;
图2:∠AMF=∠ENB;
图3:∠AMF+∠ENB=180°.

证明:如图2,取AC的中点H,连接HE、HF.
∵F是DC的中点,H是AC的中点,
∴HF∥AD,HF=AD,
∴∠AMF=∠HFE,
同理,HE∥CB,HE=CB,
∴∠ENB=∠HEF.
∵AD=BC,
∴HF=HE,
∴∠HEF=∠HFE,
∴∠ENB=∠AMF.

如图3:取AC的中点H,连接HE、HF.
∵F是DC的中点,H是AC的中点,
∴HF∥AD,HF=AD,
∴∠AMF+∠HFE=180°,
同理,HE∥CB,HE=CB,
∴∠ENB=∠HEF.
∵AD=BC,
∴HF=HE,
∴∠HEF=∠HFE,
∴∠AMF+∠ENB=180°.
点评:此题构思巧妙,融合了中位线定理,平行线的性质等概念,难点是需要作出两条辅助线.
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