Question

13．如图，D是正△ABC的外接圆⊙O上弧AB上一点，给出下列结论：①∠BDC=∠ADC=60°；②AE•BE=CE•ED；③CA²=CE•CD；④CD=BD+AD．其中正确的个数是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 连接AD，根据等边三角形的性质得到∠BAC=∠ABC=60°，由圆周角定理得到∠BDC=∠BAC=60°，∠ADC=∠ABC=60°，于是得到∠BDC=∠ADC=60°，故①正确；根据圆周角定理得到∠D=∠A，∠ABD=∠ACD，推出△BDE∽△ACE，根据相似三角形的性质即可得到AE•BE=CE•ED；故②正确；由于∠ADC=∠EAC=60°，∠ACE=∠ACD，得到△ACD∽△ACE，根据相似三角形的性质得到CA²=CE•CD；故③正确；在CD上截取CF=BD，通过△ABD≌△ACF，得到AD=AF，推出△ADF是等边三角形，得到DF=AD，等量代换即可得到结论．

解答 解：连接AD，∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠BDC=∠BAC=60°，∠ADC=∠ABC=60°，
∴∠BDC=∠ADC=60°，故①正确；
∵∠D=∠A，∠ABD=∠ACD，
∴△BDE∽△ACE，
∴$\frac{BE}{CE}=\frac{DE}{AE}$，
∴AE•BE=CE•ED；故②正确；
∵∠ADC=∠EAC=60°，∠ACE=∠ACD，
∴△ACD∽△ACE，
∴$\frac{AC}{CD}=\frac{CE}{AC}$，
∴CA²=CE•CD；故③正确；
在CD上截取CF=BD，
在△ABD与△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CF}\\{∠ABD=∠ACF}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF，
∴AD=AF，
∵∠ADC=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴DF=AD，
∵CD=CF+DF，
∴CD=BD+AD．故④正确．
故选A．

点评 此题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．