Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，动点D从点A出发，沿线段AC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点E同时从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BC方向运动，当点D停止时，点E也随之停止，连结DE，当C、D、E三点不在同一直线上时，以ED、EC我邻边作?ECFD，设点D运动的时间为t（秒）．
（1）用含t的代数式表示CE的长度．
（2）当F点落在△ABC的内部时，求t的取值范围．
（3）设?ECFD的面积为S（平方单位），求S与t之间的函数关系式．
（4）当点F到Rt△ABC的一条直角边的距离是到另一条直角边距离的2倍时，直接写出?ECFD的面积．

Answer 1

分析 （1）分两种情形分别求出CE的长即可；
（2）求出点F落在AB或AC上的时间即可解决问题．
（3）分两种情形求解即可；
（4）分四种情形列出方程求解即可解决问题；

解答 解：（1）由题意，BE=2t，
当点E与点C重合时，2t=3，
∴t=$\frac{3}{2}$，
当点D与点C重合时，t=4．
∴当0≤t＜$\frac{3}{2}$时，CE=BC-BE=3-2t．
当$\frac{3}{2}$≤t≤4时，CE=BE-BC=2t-3．

（2）当F落在AB上时，tanA=$\frac{DF}{AD}$=$\frac{BC}{AC}$，
∴$\frac{2t-3}{t}$=$\frac{3}{4}$，
∴t=$\frac{12}{5}$，
当点F落在AC边上时，点E与点C重合，
∴t=$\frac{3}{2}$，
∴当点F落在△ABC的内部时，$\frac{3}{2}$＜t＜$\frac{12}{5}$．

（3）当0≤t＜$\frac{3}{2}$时，S=EC•DC=（3-2t）（4-t）=2t²-11t+12．
当$\frac{3}{2}$＜t＜4时，S=EC•DC=（2t-3）（4-t）=-2t²+11t-12，
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{2{t}^{2}-11t+12}&{（0≤t＜\frac{3}{2}）}\\{-2{t}^{2}+11t-12}&{（\frac{3}{2}＜t＜4）}\end{array}\right.$．

（4）由题意DC=2DF或DF=2DC，
则有4-t=2（3-2t），解得t=$\frac{2}{3}$，此时S=$\frac{50}{9}$，
或3-2t=2（4-t），无解，不存在，
或4-t=2（2t-3），解得t=2，此时S=2，
或2t-3=2（4-t），解得t=$\frac{11}{4}$，此时S=$\frac{25}{8}$
∴?ECFD的面积为$\frac{50}{9}$或2或$\frac{25}{8}$．

点评 本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、锐角三角函数、一元一次方程的应用、二次函数的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论是思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．