Question

如图，已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I，IH⊥BC于H，试比较∠CIH和∠BID的大小．

Answer 1

分析：根据角平分线的定义、三角形内角和定理可知∠BAD+∠ABI+∠HCI=90°．又因为∠BAD+∠ABI=∠BID，90°-∠HCI=∠CIH，所以∠BID=∠CIH．

解答：解：因为AI、BI、CI为三角形ABC的角平分线，
所以∠BAD=

1

2

∠BAC，
∠ABI=

1

2

∠ABC，
∠HCI=

1

2

∠ACB．
所以∠BAD+∠ABI+∠HCI
=

1

2

∠BAC+

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB
=

1

2

（∠BAC+∠ABC+∠ACB）
=

1

2

×180°
=90°．
所以∠BAD+∠ABI=90°-∠HCI．
又因为∠BAD+∠ABI=∠BID，90°-∠HCI=∠CIH，
2（∠BAD+∠ABI+∠HCI）=180°，
∠BAD+∠ABI+∠HCI=90°，
所以∠BID=∠CIH．
所以∠BID和∠CIH是相等的关系．

点评：本题考查了角平分线的定义及三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°．