Question

如图，Rt△OAB的斜边OA在x轴上，点B在第一象限，OA：OB=5：4．边AB的垂直平分线分别交AB、x轴于点C、D，线段CD交反比例函数y=的图象于点E．当BC=CE时，以DE为边的正方形的面积是

1. A.
   
2. B.
   1
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：连结AE并且延长交OB于F点，连结BE，作FH⊥x轴于H，设OA=5x，则OB=4x，根据勾股定理计算出AB=3x，且A点坐标为（5x，0），根据垂直平分线的性质得CB=CA，EC⊥AB，EA=EB，DC=OB=2x，而BC=CE，则EC=CA=CB=x，所以△ABE为等腰直角三角形，同样得到△FBA为等腰直角三角形，则BF=BA=3x，EF=EA，得到OF=x，易证得Rt△OFH∽Rt△OAB，运用相似比可得到FH=x，OH=x，则F点坐标为（x，x），在求出AF的中点E的坐标（x，x），把E点坐标代入代入y=求出x，则利用DE=DC-EC=2x-x=x求出DE，然后根据正方形面积公式计算即可．
解答：连结AE并且延长交OB于F点，连结BE，作FH⊥x轴于H，如图，
设OA=5x，则OB=4x，所以AB==3x，A点坐标为（5x，0），
∵边AB的垂直平分线分别交AB、x轴于点C、D，
∴CB=CA，EC⊥AB，EA=EB，DC=OB=2x，
∵BC=CE，
∴EC=CA=CB=x，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE⊥AE，∠EBA=45°，
而∠OBA=90°，
∴BE平分∠FBA，
∴△FBA为等腰直角三角形，
∴BF=BA=3x，EF=EA，
∴OF=OB-BF=x，
∵∠FOH=∠AOB，
∴Rt△OFH∽Rt△OAB，
∴==，即==，
∴FH=x，OH=x，
∴F点坐标为（x，x），
∵E点为AF的中点，
∴E点坐标为（x，x），
把E（x，x）代入y=得x•x=3，解得x=，
∴DE=DC-EC=2x-x=x=，
∴以DE为边的正方形的面积=DE²=（）²=．
故选A．
点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、线段垂直平分线的性质和等腰直角三角形的判定与性质；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算．