Question

在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？
（3）当t=2秒时，四边形OPQB的面积为多少个平方单位？

Answer 1

分析：（1）已知直线经过点A、B就可以利用待定系数法求出函数的解析式；
（2）以点A、P、Q为顶点的三角形△AOB相似，应分△APQ∽△AOB和△AQP∽△AOB两种情况讨论，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出t的值．
（3）过点Q作QM⊥OA于M，由△AMQ∽△AOB就可以求出QM的值，就可以求出面积．

解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
将点A（0，6）、点B（8，0）代入得

6=b 0=8k+b

，
解得

k=- 3 4 b=6

，
直线AB的解析式为：y=-

3

4

x+6．

（2）∵Rt△OAB中，OA=6，OB=8，
∴由勾股定理可得，AB=10，
又知AP=t，AQ=10-2t．
分两种情况：
①当△APQ∽△AOB时，有：

AP

AQ

=

AO

AB

，
∴

t

10-2t

=

6

10

，解得t=

30

11

，
②当△AQP∽△AOB时，有：

AQ

AP

=

AO

AB

，
∵

10-2t

t

=

6

10

，解得t=

50

13

，
综上所述，当t=

30

11

或

50

13

时，
以点A、P、Q为顶点的三角形△AOB相似．

（3）当t=2秒时，
AP=2，AQ=6，过点Q作QM⊥OA于M，
易得△AMQ∽△AOB，
∴

AQ

AB

=

QM

OB

，

6

10

=

QM

8

，
解得QM=4.8，
∴△APQ的面积为：

1

2

AP×QM=

1

2

×2×4.8=4.8（平方单位），
∴四边形OPQB的面积为：S_△AOB-S_△APQ=24-4.8=19.2（平方单位）．

点评：本题主要考查待定系数法求函数的解析式，以及相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比相等．