Question

2．如图，过点M（0，3）的直线l平行于x轴，交反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象于点A，B、D是直线l上的点且满足$\frac{AB}{BD}$=$\frac{1}{2}$，以AB，BD为边向下作等边△ABC和等边△BDE，当C，E都落在y=$\frac{k}{x}$的图象上时，k=$\frac{6\sqrt{3}}{7}$．

Answer 1

分析 过点A、E分别作CK⊥x轴，EN⊥x轴，垂足分别为K、N，设AM=a，AB=2b，则A（a，3），BD=4b，再由△ABC和△BDE是等边三角形，故可得出C（a+b，3-$\sqrt{3}$b），E（a+4b，3-2$\sqrt{3}$b），再由A、C，E都落在y=$\frac{k}{x}$的图象上即可得出a的值，进而得出结论．

解答 解：过点A、E分别作CK⊥x轴，EN⊥x轴，垂足分别为K、N，
设AM=a，AB=2b，则A（a，3），BD=4b，
∵△ABC和△BDE是等边三角形，
∴C（a+b，3-$\sqrt{3}$b），E（a+4b，3-2$\sqrt{3}$b），
∵A、C，E都落在y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}k=3a\\ k=（a+b）（3-\sqrt{3}b）\\ k=（a+4b）（3-2\sqrt{3}b）\end{array}\right.$，解得a=$\frac{2\sqrt{3}}{7}$，
∴k=$\frac{6\sqrt{3}}{7}$．
故但为：$\frac{6\sqrt{3}}{7}$．

点评 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意作出辅助线，设出A、C、E三点坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特点列出方程组是解答此题的关键．