Question

如图所示：已知四边形ABCD为菱形，AB=10，tanB=

4

3

，E是AD边上一个动点（点E与点A不重合），过E作EF⊥BC，交边BC于点F．
（1）求EF的长；
（2）连接AC交EF于点N，M是BC边上一动点，且CM=2AE，设AE=x，△CMN的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当AE为何值时，△CMN是以MN为腰的等腰三角形？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,菱形的性质,解直角三角形

专题：

分析：（1）作AG⊥BC于G，根据AB=10，tanB=

4

3

，通过解直角三角形求得AG，然后根据平行线间的距离相等得出EF=AG即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理即可求得

FN

CF

=2，然后通过三角形相似对应边成比例求得

EN

AE

=

FN

FC

=2，进而求得FN=8-2x，从而求得三角形的面积；
（3）通过三角形全等求得EN=FN=4，根据（2）求得的EN=2AE即可求得；

解答：解：（1）作AG⊥BC于G，
∵tanB=

4

3

，
∴

AG

BG

=

4

3

，
∴AB=10，
∴AG=8，BG=6，
∴CG=10-6=4，
∵AG⊥BC，EF⊥BC，
∴EF∥AG，EF=AG=8，

（2）∵EF∥AG，
∴

CF

CG

=

FN

AM

，
即

CF

4

=

FN

8

，
∴

FN

CF

=2，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴△AEN∽△CFN，
∴

FC

AE

=

FN

EN

，
∴

EN

AE

=

FN

FC

=2，
∴EN=2AE=2x，
∴FN=EF-EN═8-2x，
∴y=

1

2

×2x（8-2x）=-2x²+8x，
即y=-2x²+8x（0＜x＜5）；

（3）∵△CMN是以MN为腰的等腰三角形，EF⊥BC，
∴MF=CF，
∵CM=2AE，
∴MF=CF=AE，
在△AEN与△CFN中，

∠ANE=∠FNC ∠AEN=∠CFN=90° AE=FC

，
∴△AEN≌△CFN（AAS），
∴EN=FN=

1

2

EF=4，
由（2）可知：EN=2AE，
∴AE=

1

2

EN=2；

点评：本题考查了菱形的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段定理等；本题的关键是找出EN=2AE的关系．