Question

9．已知：如图，OD⊥AD，OH⊥AE，DE交GH于O．
（1）若∠1=∠2，求证：OG=OE．
（2）若OG=OE，求证：∠1=∠2．

Answer 1

分析 （1）先根据角平分线的性质得：OD=OH，再证明△GDO≌△EHO，可得结论；
（2）先证明△GDO≌△EHO，得OD=OH，根据角平分线的逆定理得：AO平分∠DAH，则∠1=∠2．

解答 证明：（1）∵∠1=∠2，OD⊥AD，OH⊥AE，
∴OD=OH，∠ODG=∠OHE=90°，
在△GDO和△EHO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ODG=∠OHE}\\{∠DOG=∠HOE}\\{OD=OH}\end{array}\right.$，
∴△GDO≌△EHO（AAS），
∴OG=OE；
（2）∵OD⊥AD，OH⊥AE，
∴∠ODG=∠OHE=90°，
在△GDO和△EHO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ODG=∠OHE}\\{∠DOG=∠HOE}\\{OG=OE}\end{array}\right.$，
∴△GDO≌△EHO（AAS），
∴OD=OH，
∴O在∠DAH的角平分线上，
即AO平分∠DAH，
∴∠1=∠2．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定及角平分线性质定理，熟练掌握角平分线的性质是关键：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等，②到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上；有时角平分线的性质得出的结论可以由全等得出，不过比较麻烦．