Question

△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC中点，DE⊥DF，若BE=12，CF=5，求EF的长．

Answer 1

分析：方法一：延长ED至M，使MD=ED，连接CM，FM，然后利用“边角边”证明△BDE和△CDM全等，根据全等三角形对应边相等可得CM=BE，全等三角形对应角相等可得∠B=∠MCD，然后求出∠MCF=90°，再利用勾股定理列式进行计算求出MF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等解答；
方法二：连接AD，根据等腰三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD，并求出∠DAE=∠C=45°，AD⊥BC，再根据同角的余角相等求出∠ADE=∠CDF，然后利用“角边角”证明△ADE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CF，同理可得AF=BE，然后利用勾股定理列式进行计算即可得解．

解答：解：方法一：如图1，延长ED至M，使MD=ED，连接CM，FM，
∵D为BC中点，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDM中，
∵

BD=CD ∠BDE=∠CDM MD=ED

，
∴△BDE≌△CDM（SAS），
∴CM=BE，∠B=∠MCD=45°，
∴∠MCF=∠MCD+∠ACB=45°+45°=90°，
在Rt△MCF中，MF=

CM2+CF2

=

122+52

=13，
∵DE⊥DF，MD=ED，
∴EF=MF=13；

方法二：如图2，连接AD，
∵△ABC是等腰直角三角形，点D为BC的中点，
∴AD=CD，∠DAE=∠C=45°，AD⊥BC，
∴∠ADF+∠CDF=90°，
∵DE⊥DF，
∴∠ADE+∠ADF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
∵

∠DAE=∠C AD=CD ∠ADE=∠CDF

，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，
同理可得AF=BE，
在Rt△AEF中，EF=

AE2+AF2

=

52+122

=13．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．