Question

如图，正比例函数y=k₁x与反比例函数y=

4

x

的图象交于A、D两点，由点A向x轴作垂线，垂足为C，点B为点C关于直线AD的对称点，且点B恰好落在y轴上，
（1）则k₁=

 

；
（2）连接CD，则△COD的面积是

 

；
（3）在y轴上是否存在点P，使△CDP为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：计算题

分析：（1）根据点B、C关于直线AD对称，且点BC分别在y轴于x轴上，故可得出直线AD的解析式，进而得出结论；
（2）先求出AD两点的坐标，再根据S_△COD=

1

2

×|x_A|×|y_D|即可得出结论；
（3）先根据两点间的距离公式得出PD²，PC²及DC²的值，再根据∠CDP=90°，∠DCP=90°和∠APD=90°三种情况讨论．

解答：解：（1）∵点B、C关于直线AD对称，且点BC分别在y轴于x轴上，
∴直线AD的解析式为y=x，
∴k₁=1．
故答案为：1；

（2）∵正比例函数y=x与反比例函数y=

4

x

的图象交于A、D两点，
∴

y=x y= 4 x

，
解得

x=2 y=2

或

x=-2 y=-2

，
∴A（2，2），D（-2，-2），
∴C（2，0），
∴S_△ODC=

1

2

×|x_A|×|y_D|=2；
故答案为：2；

（4）设P（0，y），
∵C（2，0），D（-2，-2），
∴PD²=4+（y+2）²，
PC²=4+y²，
DC²=20，
当∠PDC=90°时，CD²+DP²=PC²即20+4+（y+2）²=4+y²，解得y=-6，
∴P₁（0，-6）；
当∠PCD=90°时，PC²+CD²=PD²，即4+y²+20=4+（y+2）²，解得y=4，
∴P₂（0，4），
当∠DPC=90°则PC²+PD²=CD²，即4+y²+4+（y+2）²=20，解得y=-1±

5

，
∴P₃（0，-1+

5

），P₄（0，-1-

5

）．
综上所述，P点坐标为：P₁（0，-6），P₂（0，4），P₃（0，-1+

5

），P₄（0，-1-

5

）．

点评：本题考查的是反比例函数图综合题，熟知反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称是解答此题的关键．