Question

如图所示，点B坐标为（6，0），点A坐标为（6，12），动点P从点O开始沿OB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，动点Q从点B开始沿BA以每秒2个单位长度的速度向点A移动．如果P、Q分别从O、B同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0＜t≤6），那么，
（1）当t为何值时，四边形OPQA是梯形，此时梯形OPQA的面积是多少？
（2）当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与△AOB相似？
（3）若设四边形OPQA的面积为y，试写出y与t的函数关系式，并求出t取何值时，四边形OPQA的面积最小？
（4）在y轴上是否存在点E，使点P、Q在移动过程中，以B、Q、E、P为顶点的四边形的面积是一个常数？若存在请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：OP=t，PB=6-t，BQ=2t，
（1）当PQ∥OA，四边形OPQA是梯形，
∴BP：BO=BQ：BA，即（6-t）：6=2t：12，
∴t=3，
∴PB=3，BQ=6，
∴梯形OPQA的面积=△OAB的面积-△PBQ的面积=×6×12-×3×6=27，
所以当t=3时，四边形OPQA是梯形，此时梯形OPQA的面积为27；

（2）当∠BPQ=∠BOA，即PQ∥OA，Rt△BPQ∽Rt△BOA，
由（1）得t=3，
当∠BPQ=∠A，则Rt△BPQ∽Rt△BAO，
∴BP：BA=BQ：BO，即（6-t）：12=2t：6，
∴t=，
所以当t=秒或3秒时，以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB相似；

（3）存在．
y=S_△OAB-S_△BPQ=×6×12-×2t×（6-t）
=t²-6t+36
=（t-3）²+27，
∵a=1，
∴t=3时，y有最小值27，
所以当t=3秒时，四边形OPQA的面积最小；

（4）存在．
当E在y轴的负半轴上时，以B、Q、E、P为顶点不能形成四边形，
则点E在y轴的正半轴上时，
设E（0，m），
所以以B、Q、E、P为顶点的四边形的面积=梯形BQEO的面积-△OPE的面积=×6×（m+2t）-×m×t
=（6-m）t+3m，
当以B、Q、E、P为顶点的四边形的面积是一个常数，则6-m=0，解得m=12，
所以点E的坐标为（0，12）．
分析：（1）当PQ∥OA，四边形OPQA是梯形，根据平行线分线段成比例得到BP：BO=BQ：BA，即（6-t）：6=2t：12，即可得到t，利用梯形OPQA的面积=△OAB的面积-△PBQ的面积求面积；
（2）讨论：当∠BPQ=∠BOA，即PQ∥OA，由（1）得t=3；当∠BPQ=∠A，则Rt△BPQ∽Rt△BAO，BP：BA=BQ：BO，即（6-t）：12=2t：6，即可得到t；
（3）利用y=S_△OAB-S_△BPQ=×6×12-×2t×（6-t），然后配成顶点式即可得到答案；
（4）利用以B、Q、E、P为顶点的四边形的面积=梯形BQEO的面积-△OPE的面积，用t与m表示出来为×6×（m+2t）-×m×t，变形得到（6-m）t+3m，当t的系数为0时即可得到m的值．
点评：本题考查了三角形相似的判定与性质：两组对应角相等的三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了分类讨论思想的运用以及三角形的面积公式．