Question

如图①，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（0，10），（8，4），顶点C，D在第一象限，点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点E（4，0）出发，沿x轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）求正方形ABCD的边长．
（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（s）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P，Q两点的运动速度．
（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（s）的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）本题须先作BF⊥y轴于F．再求出FB和FA的值即可得出AB的长．
（2）本题须求出点P从点A运动到点B用了多少时间，再根据AB的长即可求出P、Q两点的运动速度．
（3）本题须先作PG⊥y轴于G，证出△AGP∽△AFB得出S=

1

2

OQ•OG，再把OQ•OG的值代入即可得出S=-

3

10

t2+

19

5

t+20
最后即可得出S有最大值时P点的坐标．

解答：解：（1）作BF⊥y轴于F．
∵A（0，10），B（8，4）
∴FB=8，FA=6，
∴AB=10；

（2）∵点P从A点移动到B点时，△OPQ的面积为28，
由图2可知，当t=10时，s=28，
∴点P从点A运动到点B用了10s，
∵AB=10，
∴P、Q两点的运动速度均为每秒一个单位长度．

（3）作PG⊥y轴于G，则PG∥BF．
∴△AGP∽△AFB
∴

GA

FA

=

AP

AB

，即

GA

6

=

t

10

∴GA=

3

5

t，OG=10-

3

5

t，
又∵OQ=4+t，
∴S=

1

2

OQ•OG，
=

1

2

（t+4）（10-

3

5

t），
即：S=-

3

10

t2+

19

5

t+20，
-

b

2a

=-

19 5

2×(- 3 10 )

=

19

3

，
且：

19

3

在0≤t≤10内，
∴当t=

19

3

时，S有最大值，此时GP=

4

5

t=

76

15

，
OG=10-

3

5

t=

31

5

，
∴P（

76

15

，

31

5

）．

点评：本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要注意综合运用数形结合思想，灵活应用二次函数的图象和性质是本题的关键．