Question

（2012•鼓楼区二模）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足为E，CD=ED．连接CE，交AD于点H．  
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）点F在AD上，连接CF，EF．现有三个论断：①EF∥BC；②EF=FC；③CE⊥AD．请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形CDEF是菱形．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE，然后利用“HL”定理即可证明；
（2）选择①，先根据等腰三角形三线合一的性质证明AD垂直平分CE，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得EF=FC，DC=DE，再根据等边对等角的性质可得∠CED=∠ECD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠FEC=∠ECD，从而求出∠EFD=∠EDF，再根据等角对等边的性质得到EF=ED，然后利用四条边都相等的四边形是菱形即可证明．

解答：（1）证明：∵∠ACB=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE⊥AB，
∴CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，

AD=AD CD=DE

，
∴△ACD≌△AED（HL）；

（2）选择①EF∥BC．
证明如下：∵△ACD≌△AED，
∴AC=AE，
∵AD平分∠CAB，
∴AD垂直平分CE，
∴FC=FE，DC=DE，
∴∠CED=∠ECD，
∵EF∥BC，
∴∠FEC=∠ECD，
∴∠CED=∠FEC，
∴∠EFD=∠EDF，
∴EF=ED，
∴FC=FE=DC=DE，
∴四边形FCDE为菱形．

点评：本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，以及等角对等边的性质，等边对等角的性质，综合题，但难度不大，熟练掌握各性质与判定方法是解题的关键．