Question

如图（1），AB是⊙O的直径，直线l切⊙O于B，C、D是l上两点，AC，AD交⊙O于E、F．试问：AE•AC与AF•AD有怎样的关系？请证明你的结论．
如图（2），若将直线l向下平移，使AB⊥l，交l于G，C、D仍是l上两点，图（1）中你探索的结论是否仍然成立？请证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：如图（1），连接BE、BF．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°．
又∵CD切⊙O于点B，
∴AB⊥BC，∠ABC=90°．
在Rt△AEB和Rt△ABC中，∠EAB=∠CAB，
∴Rt△AEB∽Rt△ABC．
∴AE：AB=AB：AC，
即AE•AC=AB²，
同理：Rt△AFB∽Rt△ABD，
∴AF：AB=AB：AD，
∴AF•AD=AB²，
∴AE•AC=AF•AD．

（2）解：AE•AC=AF•AD仍然成立．
证明：如图（2），连接BE，BF，
∵直线l在向下平移时始终与AB垂直，垂足为G，则∠AGC=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠AGC=∠AEB，
又∵∠GAC=∠EAB，
∴Rt△AGC∽Rt△AEB，
∴AG：AE=AC：AB，
∴AE•AC=AG•AB，
同理：AF•AD=AG•AB，
∴AE•AC=AF•AD．
分析：（1）可通过构建相似三角形来求证．连接BE、BF，通过证Rt△AEB∽Rt△ABC与Rt△AFB∽Rt△ABD，得出AE、AC以及AF、AD和AB之间的关系，通过AB这个中间值来得出所求的比例关系．
（2）依然成立，因为这要能证得（1）中的两个三角形相似，就能得出（1）中的结论，直线l向下平移的过程中，两个三角形相似的条件（一个公共角，一组直角）没有改变，因此仍相似，所以（1）中的结论仍成立．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及切线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．