Question

如图1，在四边形ABCD的AB边上取一点E（点E不与A，B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成3个三角形．如果其中有2个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点；如果这3个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的强相似点．
（1）图1中，若∠A=∠B=∠DEC=50°，说明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；
（2）如图2，点E是矩形ABCD的AB边上的一个强相似点，若DE=3，AE=

1

3

BE，求矩形ABCD的面积；
（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，请判断AE与BE的数量关系（要求画出示意图，不必说明理由）．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠ADE=∠DEC+∠BEC，然后求出∠ADE=∠BEC，再根据两角对应相等两三角形相似求出△ADE和△BEC相似；
（2）先判断出∠DEC=90°，再根据△ADE和△ECD相似，利用相似三角形对应边成比例可根据AE=

1

3

BE可得AE=

1

4

AB=

1

4

CD，然后求出CD的长，再求出AE，利用勾股定理列式求出AD，然后利用矩形的面积公式列式计算即可得解；
（3）分清况讨论，①∠CED=90°，再根据“点E是强相似点”判断出CE、DE分别是∠BCD和∠ADC的平分线，然后根据△ADE和△EDC相似，利用相似三角形对应边成比例可得

AE

EC

=

DE

CD

，根据△BCE和△ECD相似，利用相似三角形对应边成比例可得

BE

DE

=

EC

CD

，整理即可得到AE=BE．
②∠CDE=90°，同理可得AE与BE的数量关系．

解答：解：（1）由三角形外角性质可得∠A+∠ADE=∠DEC+∠BEC，
∵∠A=∠DEC，
∴∠ADE=∠BEC，
又∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC，
∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；

（2）∵点E是矩形ABCD的AB边上的一个强相似点，
∴∠DEC=90°，
由△ADE∽△ECD得，

AE

DE

=

DE

CD

，
∵AE=

1

3

BE，AB=CD，
∴AE=

1

4

AB=

1

4

CD，
∴

1 4 CD

3

=

3

CD

，
解得CD=6，
∴AE=

1

1+3

×6=

3

2

，
在Rt△ADE中，AD=

DE2-AE2

=

32-( 3 2 )2

=

3 3

2

，
∴矩形ABCD的面积=6×

3 3

2

=9

3

；

（3）∵点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，∠B=90°，
①若∠DEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=180°-90°=90°，
∵∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠AED=∠BCE，
若∠BCE与∠ECD互余，则四边形ABCD是矩形，
所以，∠BEC和∠ECD只能相等，
同理∠ADE与∠EDC也相等，
即CE、DE分别是∠BCD和∠ADC的平分线，
由△ADE∽△EDC得，

AE

EC

=

DE

CD

，
∴AE•CD=DE•EC，
由△BCE∽△ECD得，

BE

DE

=

EC

CD

，
∴BE•CD=DE•EC，
∴AE=BE．
②若∠EDC=90°，
∵△AED与△BEC相似，
∴只有∠ADE=∠BCE，∠BEC=∠AED，
∴EC是∠DEB的角平分线，
∴CD=CB，
∴△CBE≌△CDE，
∴∠BCE=∠DCE，DE=BE，
∵∠ADC+∠BCD=90°，
∴∠BCE+∠DCE+∠CDE+∠ADE=180°，
即可得3∠ADE=90°，
∴∠ADE=30°，
∴AE：DE=1：2，
∴AE：BE=1：2．
综上可得：AE：BE=1：1或AE：BE=1：2．

点评：本题考查了相似形综合题，主要利用了相似三角形对应边成比例，矩形的对边平行且相等的性质，读懂题目信息，理解四边形边上的相似点与强相似点的定义并根据图形确定出相似三角形，准确找出对应边是解题的关键．