Question

在平面直角坐标系中，已知点A（6，3

3

），B（0，3

3

）
（1）画一个圆M，使它经过点A、B且与y轴相切（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）∠MOB=

30°

．
（3）若圆M绕原点O顺时针旋转，旋转角为α（0＜α＜180°），当圆M与x轴相切时，求圆心M走过的路程．（结果保留π）

Answer 1

分析：（1）根据A点与B点坐标可得AB⊥y轴于B，作AB的垂直平分线l交AB与M点，以M点为圆心，MB为半径作圆，则圆M与y轴相切；
（2）在Rt△OBM中，先根据勾股定理计算出OM=6，然后根据含30度的直角三角形三边的关系即可得到∠MOB=30°；
（3）分类讨论：当圆M绕原点O顺时针旋转到圆M₁与x轴相切，作M₁C⊥x轴于C，根据切线的性质得M₁C=3，由于OM₁=6，根据含30度的直角三角形三边的关系得∠2=30°，所以∠1=30°，然后根据弧长公式可计算弧MM₁的长度；同理可得当圆M绕原点O顺时针旋转到圆M₁与x轴相切，同理可得∠3=30°，则∠MOM₂=90°，再根据弧长公式可计算弧MM₂的长度．

解答：解：（1）∵A（6，3

3

），B（0，3

3

）
∴AB⊥y轴于B，
作AB的垂直平分线l交AB与M点，以M点为圆心，MB为半径作圆，则⊙M为所求；

（2）在Rt△OBM中，BM=

1

2

AB=

1

2

×6=3，OB=3

3

，
∴OM=

OB2+BM2

=6，
∴∠MOB=30°．
故答案为30°；

（3）当圆M绕原点O顺时针旋转到圆M₁与x轴相切，如图，作M₁C⊥x轴于C，
则M₁C=3，
∵OM₁=6，
∴∠2=30°，
∴∠1=90°-30°-30°=30°，
∴弧MM₁的长度=

30•π•6

180

=π；
当圆M绕原点O顺时针旋转到圆M₁与x轴相切，同理可得∠3=30°，
∴∠MOM₂=60°+30°=90°，
∴弧MM₂的长度=

90•π•6

180

=3π，
∴圆心M走过的路程为π或3π．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定与性质；会运用勾股定理、含30度的直角三角形三边的关系和弧长公式进行计算．