Question

7．已知$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+2}$+$\frac{1}{2+a}$=$\sqrt{5}$-1，求a的值．

Answer 1

分析 先利用二次根式的性质得出$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+2}$=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+2-$\sqrt{3}$=1，则原方程可化为1+$\frac{1}{2+a}$=$\sqrt{5}$-1，即$\frac{1}{2+a}$=$\sqrt{5}$-2，然后解方程即可求出a的值．

解答 解：∵$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+2}$=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+2-$\sqrt{3}$=1，
∴原方程可化为1+$\frac{1}{2+a}$=$\sqrt{5}$-1，即$\frac{1}{2+a}$=$\sqrt{5}$-2，
方程两边同时乘以2+a，得（$\sqrt{5}$-2）（2+a）=1，
∴2+a=$\sqrt{5}$+2，
∴a=$\sqrt{5}$．
经检验，a=$\sqrt{5}$是原方程的根，
故a的值为$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了分母有理化，分式方程的解法，掌握$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$的有理化因式是$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$是解题的关键．