Question

如图，延长四边形ABCD的四边分别至E、F、G、H，使AB=nBE，BC=nCF，CD=nDG，DA=nAH（n＞0），则四边形EFGH与四边形ABCD的面积之比为________（用含n的代数式表示）．

Answer 1

（n²+2n+2）：n²
分析：连接BH，BD，DF，根据等高的两个三角形面积比等于底边之比，设S_△BEH=a，则S_△ABH=na，S_△ABD=an²，同理设S_△DFG=b，则S_△CDF=bn，S_△BCD=bn²，从而得（S_△AEH+S_△CFG）：S_{四边形ABCD}=（a+an+b+bn）：（an²+bn²）=（n+1）：n²，同理可证（S_△HGD+S_△BEF）：S_{四边形ABCD}=（n+1）：n²，再求（S_△AEH+S_△CFG+S_△HGD+S_△BEF）：S_{四边形ABCD}=（2n+2）：n²，根据S_{四边形EFGH}=S_△AEH+S_△CFG+S_△HGD+S_△BEF+S_{四边形ABCD}求解．
解答：解：连接BH，BD，DF，
设S_△BEH=a，则S_△ABH=na，S_△ABD=an²，
同理设S_△DFG=b，则S_△CDF=bn，S_△BCD=bn²，
∴（S_△AEH+S_△CFG）：S_{四边形ABCD}=（a+an+b+bn）：（an²+bn²）=（n+1）：n²，
同理可证（S_△HGD+S_△BEF）：S_{四边形ABCD}=（n+1）：n²，
∴（S_△AEH+S_△CFG+S_△HGD+S_△BEF）：S_{四边形ABCD}=（2n+2）：n²，
∵S_{四边形EFGH}=S_△AEH+S_△CFG+S_△HGD+S_△BEF+S_{四边形ABCD}，
∴S_{四边形EFGH}：S_{四边形ABCD}=（n²+2n+2）：n²．
故答案为：（n²+2n+2）：n²．
点评：本题考查了运用求三角形面积的方法求四边形面积之比的问题．关键是作辅助线，将四边形的面积转化为三角形的面积，利用等高的两个三角形面积比等于底边之比求解．